Como usar o Método de Gumbel para determinar Vazões extremas?

Resumo Histórico

O método de Gumbel ou Distribuição de Gumbel dos Valores Extremos apresenta esse nome devido ao matemático alemão Emil Julius Gumbel, o qual é autor do livro Statistics of extremes, em 1958. Porém, os primeiros estudos de valores extremos são de L. Von Bortkiewicz, em 1922. No Brasil, Rui Aguiar da Silva Lemos desenvolveu uma tese a respeito do método, pela Universidade de São Paulo em 1954 (TOMAZ, 2016).

Por que e quando utilizar o Método de Gumbel?

O Método de Gumbel serve para determinar variáveis de valores extremos, como a máxima precipitação, o máximo vento, o máximo pico de vazão e outras variáveis extremas (TOMAZ, 2016). Entretanto, requer um banco de dados de longos períodos de tempo, em torno de 30 anos de dados históricos, para a viabilidade de sua aplicação. Desse modo, aplica-se o Método Gumbel quando há disponível um vasto banco de dados históricos.  

Etapas da aplicação do Método de Gumbel

O método de Gumbel apesar de ser complexo se comparado ao Método Racional, por meio deste artigo será possível, compreendê-lo de modo prático, de acordo com as etapas contidas na Figura 1.

A primeira etapa é de aquisição de dados históricos, os quais podem ser obtidos por instituições, como o banco de dados do DAEE (http://www.hidrologia.daee.sp.gov.br), conforme mostra a Figura 2.  

Na segunda etapa, são determinados os valores máximos da variável de interesse. Por meio do banco de dados hidrológicos do DAEE, pode-se baixar uma planilha Excel com as informações necessárias.

Para identificação da variável máxima de interesse, neste caso, a vazão máxima. Utiliza-se a função Excel =MÁXIMO() no intervalo de dados de médias diárias de vazão, de cada mês dos anos de estudo. No banco de dados hidrológicos do DAEE, foram estipulados de 1940 a 2004, conforme a Figura 3.

Na terceira etapa, em que se aplica o método de Gumbel, deve-se atentar para as atualizações sofridas ao longo dos anos. Diversas versões podem ser encontradas, na literatura. No presente artigo, três versões do método foram detalhadas, como:

1. Método Simplificado;
2. Método Subramanya;
3. Gumbel Gráfico.

O Método Simplificado utiliza fórmulas estatísticas de média x̅ e desvio padrão S_x para a determinação da variável de interesse, conforme a Equação 1 e 2 seguir:

Na prática, aplicando as Equações 1 e 2 para a séria histórica de vazões máximas da Tabela 1 (1940 a 2004), com 65 anos de dados históricos, os cálculos processam da seguinte maneira:

Para os Tempos de Retorno TR de 25, 50 e 100 anos, utiliza-se a Equação 3:

O cálculo da vazão máxima xTR, de 25, 50 e 100 anos de TR, ocorre por meio da Equação 4:

Os resultados do Método Simplificado podem ser observados na Tabela 2.

O Método Subramanya se caracteriza como um método mais trabalhoso na construção matemática. Utiliza tabelas elaboradas (Tabela 3 e Tabela 4) por Subramanya (2008) e a aplicação do fator de confiança (Tabela 5) para encontrar um intervalo de vazão máxima.

Os mesmos cálculos iniciais de média, desvio padrão e tempo de retorno são requeridos igualmente, como apresentado no Método Simplificado. Por isso os valores de x̅ = 325,02, Sx = 96,32 e yTR =3,19 podem ser utilizados, para fins de cálculos, a partir dos dados da Tabela 1.

Primeiramente, a Tabela 3 e Tabela 4 são usadas para a determinação de yn e Sn, respectivamente. N é o número de anos do banco de dados histórico (1940 a 2004), ou seja N = 65. O modo de derterminar as variáveis yn e Sn ocorre por meio do encontro da Horizontal da linha (60) e Vertical da coluna (5). Dessa forma, yn = 0,5535 e Sn = 1,1803.

O próximo passo é a determinação da variável K, a partir dos valores de yTR= 3,19, yn=0,5535 e Sn=1,11803, de acordo com a Equação 5:

Em seguida, calcula-se a vazão máxima xt, a partir x̅ = 325,02, Sx = 96,32 e K =2,2409 de acordo com a Equação 6.

Por fim, para o cálculo do intervalo da vazão máxima, utiliza-se as variáveis, b e Se, conforme a Equação 7 e Equação 8 a seguir:

O fator f(c) denominado de fator de confiança da probabilidade, como mostra a Tabela 6, representa a probabilidade de confiança do intervalo de vazão máxima, sendo que foi escolhido o fator de 95%, para o presente artigo.

Seguindo, os intervalos de x1 a x2 podem ser observados abaixo, na Equação 9 e Equação 10.

Os resultados de todas as etapas calculadas no Método de Gumbel Subramanya (2008), podem ser observados na Tabela 7, com os respectivos TR de 25, 50 e 100 anos.

O Método de Gumbel Gráfico inicia o procedimento de cálculos estatísticos, com a reordenação em ordem decrescente de todas vazões, dos 65 anos da série histórica (n=65). Após, os dados da coluna Q. Máx. Ord. serem reorganizados, em seguida, foram numerados a coluna Ordem (m) de 1 a 65 como mostra a Tabela 7.

A Probabilidade acumulada e o tempo de retorno TR são dados, respectivamente, pela Equação 11 e Equação 12, a seguir:

Na Tabela 8, apresenta-se os resultados dos procedimentos necessários para o Método Gumbel Gráfico.

Por fim, existe a etapa de plotagem gráfica pelo Papel Gumbel. No eixo vertical y, são plotados os valores de vazão. No eixo horizontal x invertido, os valores de TR. A partir de cada dado inserido no Papel Gumbel, foi traçada uma reta, como mostra a Figura 4.

A obtenção da vazão máxima ocorre ao interligar o eixo TR (25, 50 e 100 anos) e a reta traçada, em seguida, rebater até o eixo de vazão Q, como mostra Figura 5.    

Desse modo, para os TR de 25, 50 e 100 anos, foram determinadas as vazões máximas de 520, 590 e 670 m³/s, respectivamente.

Resultado comparativo entre os métodos de Gumbel

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REFERÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE ÁGUAS E ENERGIA – DAEE. Banco de Dados Hidrológicos. São Paulo, 2022. Disponível em: http://www.hidrologia.daee.sp.gov.br. Acesso em: 28 dez. 2022.

FILHO, Kamel Zahed; PORTO, Rubem La Laina. Papel de Probabilidades Log Gumbel. São Paulo, 2001. Disponível em: https://dokumen.tips/documents/papel-log-gumbel-2001.html?page=1. Acesso em: 28 dez. 2022.

SUBRAMANYA, K. Engineering hydrology. 3. ed. New Delhi: McGraw-Hil, 2008.

TOMAZ, Plínio. Distribuição de Gumbele Log-Pearson Tipo II. In: CURSO DE MANEJO DE ÁGUAS PLUVIAIS. 2016. p. 21.